Sztochasztika

BME Matematika- és Számítástudományi Doktori Iskola > Komplex vizsga tematikák

1. A valószínűségszámítás alapjai:
Kolmogorov axiómarendszere, mértékelmélet. Borel-Cantelli lemmák. Konvergenciatípusok és kritériumaik. Egyenletes integrálhatóság . Dunford és Pettis tétele. Kolmogorov alaptétele. Sztochasztikus folyamat folytonosságának Kolmogorov kritériuma. Feltételes
várható érték, reguláris feltételes eloszlás. Valószínűségi mértékek metrikus terekben, gyenge konvergencia, kompaktsági kritérium (Prohorov) Mértékek a C[0,1] és D[0,1] függvénytereken, a feszesség kritériumai.
Irodalom:
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972.
John Lamperti: Probability. A survey of the mathematical theory. Wiley, New York, 1996. Richard Durrett: Probability: theory and examples. Duxbury Press, Belmont, CA, 1996.
Patrick Billingsley: Convergence of probability measures. Wiley, New York, 1999.

2. Martingálok és határeloszlástételek:
Martingál egyenlőtlenségek, megállási szabályok, opcionális megállás. Szubmartingál, konvergencia tétel, feltételes variancia folyamat. Kolmogorov 0-1 törvény, nagy számok törvényei, iterált logaritmus tétel. Centrális határeloszlástétel (globális és lokális alak). Cramer tétele, a nagy eltérések elmélete.
Irodalom:
Richard Durrett: Probability: theory and examples. Duxbury Press, Belmont, CA, 1996. David Williams: Probability with martingales. Cambridge University Press, Cambridge, 1991
Amir Dembo, Ofer Zeitouni: Large deviations techniques and applications. Springer-Verlag, New York, 1998

3. Bolyongások és Markov láncok:
Rekurrencia probléma, Pólya tételek. Tükrözési elv és alkalmazásai, arcsin tételek. Potenciálelmélet. Markov lánc állapotainak osztályozása, rekurrencia fogalmak. Stacionárius mérték, ergodtételek. Megfordított lánc, reverzibilitás. Felújítási folyamatok. Elágazó folyamatok. Születési-kihalási folyamatok. Tömegkiszolgálási folyamatok. Markov mezők, Gibbs mértékek, Ising modell.
Irodalom:
William Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications I. Wiley, New York 1968. Frank Spitzer: Principles of random walks. Springer, New York, 1976.
Samuel Karlin, Howard Taylor: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, Bp. 1985

4. Stacionárius folyamatok, ergodelmélet:
L2-elmélet, spektrálmérték, spektrális jellemzés. Gauss folyamatok, mozgó átlag- , autoregressziv-, ARMA-folyamatok. Ornstein-Uhlenbeck folyamat. Az ergodelmélet alappéldái: körvonal forgatása, tórusz eltolása, pék leképezése, Arnold macskája, Gauss-leképezés. Neumann és Birkhoff-Hincsin ergodtételei. Kingman szubadditív ergodtétele. Ergodikus és keverő leképezések, entrópia-elmélet (Kolmogorov-Sinai-tétel). Szimbolikus dinamika, Bernoulli-automorfizmusok.
Irodalom:
John Lamperti: Stochastic Processes – a Survey of the Mathematical Theory. Springer 1977.
Peter Walters: An introduction to ergodic theory. Springer-Verlag, New York- Berlin, 1982. ide kell még valami

5. Sztochasztikus analízis:
Wiener folyamat: konstrukció és alaptulajdonságok. Donsker-féle (gyenge) invariancia elv. Poisson folyamat. Itô integrál Wiener folyamat szerint. Nevezetes sztochasztikus differenciálegyenletek (Ornstein-Uhlenbeck folyamat, B folyamatok). Diffuziós folyamatok. Cameron-Martin-Girsanov tétel, Feynman-Kac formula. Alkalmazás a pénzügyi matematikában: Black-Scholes formula.
Irodalom:
Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous martingales and Brownian motion. Third edition. Springer-Verlag, Berlin, 1999 Kai-Lai Chung, Ruth Williams: Introduction to Stochastic integration. Second Edition. Birkhäuser 1990.
H. P. McKean: Stochastic Integrals. Academic Press, New York, 1969

6. Információelmélet:
Az információmennyiség mértékszámai, a típusok módszere. Forráskódolás állandó és változó hosszúságú kódszavakkal. Shannon–kód, Huffmann kód, aritmetikai kódolás. Univerzális kódolás emlékezet nélküli, Markov és véges állapotú forrásokra, a Lempel–Ziv kód és változatai. Kódolási tételek emlékezet nélküli csatornákra, lineáris kódok. Információelméleti módszerek a statisztikában.
Irodalom:
Imre Csiszár, János Körner: Information theory. Third edition. Akadémiai Kiadó, Budapest 199?
Thomas Cover, Joy Thomas: Elements of information theory. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1991

7. Statisztikai alapfogalmak, becsléselmélet:
Tapasztalati eloszlás, Glivenko–Cantelli tétel. Rendezett minták elmélete. Kolmogorov–Szmirnov tételkör. Tapasztalati eloszlásfüggvény gyenge konvergenciája a Wiener hídhoz. Elégséges és teljes statisztik fogalma, Neyman–Fisher faktorizáció, exponenciális eloszláscsalád. Pontbecslések: torzítatlanság, efficiencia, konzisztencia. Rao–Blackwell–Kolmogorov tétel, Cramér-Rao típusú egyenlőtlenségek. Becslési módszerek: maximum likelihood elv, momentumok módszere, Bayes becslések és e becslések tulajdonságai. Intervallumbecslések, Student- és c2-eloszlás tulajdonságai.
Irodalom:
Borovkov A. A.: Matematikai statisztika. Typotex, Budapest, 1999.
Johnson R.A., Bhattacharyya G.K.: Statistics. Principles and Methods. Wiley, New York,1992. Kendall M.G., Stuart A.: The Theory of Advanced Statistics I-II. Griffin, London, 1966.
Lehman E. L.: Theory of Point Estimation. Wiley, New York, 1983.

8. Hipotézisvizsgálat:
Hipotézisvizsgálati alapfogalmak, randomizált próbák. Neyman–Pearson alaplemma és kiterjesztései összetett hipotézisek vizsgálatár monoton likelihood-hányadosú eloszláscsalád esetén . Egyenletesen legerősebb és torzítatlan próbák, nagy eltérés tételek alkalmazása a statisztikában.
Egyoldali, kétoldali ellenhipotézisek; likelihood-hányados próba, a próbastatisztika aszimptotikus eloszlása. Klasszikus paramé nemparaméteres próbák optimalitása. Kolmogorov–Szmirnov próbák. A Wald- féle szekvenciális eljárás, Wald-Wolfowitz tétel.
Irodalom:
Borovkov A. A.: Matematikai statisztika. Typotex, Budapest, 1999.
Johnson R.A., Bhattacharyya G.K.: Statistics. Principles and Methods. Wiley, New York, 1992. Kendall M.G., Stuart A.: The Theory of Advanced Statistics II-III. Griffin, London, 1966.
Lehman E. L.: Testing Statistical Hypotheses. Wiley, New York, 1959.

9. Többdimenziós analízis:
Többdimenziós normális eloszlás, Wishart eloszlás. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek maximum likeliho
hipotézisvizsgálatok.
Többváltozós lineáris regresszió, lineáris modell, lineáris becslések, Gauss–Markov tétel, statisztikai próbák a lineáris modellben. Variancia- és kovariancia analízis, Fisher-Cochran-tétel. Főkomponensanalízis, faktoranalízis, kanonikus korrelációanalízis. Osztá módszerek, alakfelismerés: klaszteranalízis, diszkriminanciaanalízis. Többdimenziós skálázás. Kontingenciatáblázatok elemzése: korrespondanciaanalízis, loglineáris modellek. Többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis, Kaplan–Meier becslés cenzorált adatokra. EM algoritmus hiányos adatokra, ACE (Alternating Conditional Expectation) algoritmus az általánosított regressziós feladatra.
Irodalom:
Anderson T.W.: An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. Wiley, New York, 1949. Lawley D.N., Maxwell A.E.: Factor Analysis as a Statistical Method. Butterworths, London, 1971. Móri F.T., Székely J.G.: Többváltozós statisztikai analízis. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. Rao C.R.: Linear Statistical Inference and Its Applications. Wiley, New York,
1965.
Bolla, M.: Többváltozós matematikai statisztika jegyzet. BME Matematika Intézet, Sztochasztika Tanszék, Bolla M. honlapján.