1. Lineáris programozás:
Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának kérdése és megoldása. Gauss- Jordán eliminációs módszer. Lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága. Alternatíva tételek, Farkas lemma és variánsai. Lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldása pivot algoritmusokkal. Konvex poliéderek. Minkowski-tétel, Farkas-tétel, Weyl-tétel, Motzkin felbontási tétele. A lineáris programozás feladata, példák lineáris programozási feladatra, grafikus szemléltetés. A lineáris programozási feladat megengedett megoldásának, bázis megoldásának fogalma, a szimplex módszer alap algoritmusa. A ciklizálás és annak kizárási lehetőségei: lexikografikus szimplex módszer, Bland-szabály alkalmazása. Induló megengedett bázis keresése, a kétfázisú szimplex módszer. Az explicit bázisinverz és a módosított szimplex módszer. A lineáris programozás dualitás elmélete. Kiegészítő eltérések tételei. A duál szimplex módszer. Speciális lineáris programozási, illetve arra visszavezethető feladatok. Egyedi felső korlát technika. Érzékenységvizsgálat. A Dantzig–Wolfe dekompozíciós eljárás. Lineáris programozás belsőpontos módszereire épített elmélete. Önduális feladat, szinthalmazok, centrális út létezése és egyértelműsége. Newton-irányok kiszámítása. Analitikus centrum, Sonnevend-tétele. Dikin-ellipszoid, affin skálázású belsőpontos módszer és polinomialitása. Goldmann–Tucker-modell, Goldmann–Tucker-tétel. Pontos megoldás előállítása erősen polinomiális kerekítési eljárással. Hacsián ellipszoid módszere. Karmarkar potenciálfüggvényes belsőpontos algoritmusa. Speciális belsőpontos algoritmusok.
Irodalom:
Illés T., Lineáris optimalizálás elmélete és pivot algoritmusai, 2013.
Illés T., Lineáris optimalizálás elmélete és belsőpontos algoritmusai, 2014.
A. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley, New York, 1986.
 

2. Nemlineáris programozás:
Példák optimalizálási feladatokra. Optimalizálási feladatok osztályozása. Egyszerű egyváltozós feladatok numerikus megoldása. Felező módszer, szelő módszer. Feltétel nélküli feladatok. Szélsőértékek osztályozása. Optimalitási feltételek. Első- és másodrendű szükséges feltételek, másodrendű elegendő feltétel. Weierstrass tétele. Szinthalmazok, koerszivitás. Konvexitás. Konvex függvények tulajdonságai. Lokális-globális minimum tulajdonság. Differenciálható konvex függvények jellemzése. Kvadratikus függvények. Legkisebb négyzetes közelítés (lineáris és nemlineáris). Gradiens módszer. Legmeredekebb csökkenési irány és létezése. Lépésköz szabályok. Newton-módszer, csillapítás. Konvergencia sebessége. Feltételes optimalizálás. Optimalitási feltételek. Lagrange szorzók. KKT feltételek. Érintőkúp, linearizált érintőkúp. Regularitási feltételek. Megbízhatósági tartomány. Dualitáselmélet. Erős dualitás, gyenge dualitás. Konvex eset. Példák, geometriai programozás, zajszűrés. Büntetőfüggvény módszer. Kvadratikus programozás.
Irodalom:
J. Nocedal and S. Wright: Numerical optimization, Springer, 2006.
M. Ulbrich and S. Ulbrich: Nichtlineare optimierung, Birkha¨user, 2012.
Amir Beck: Introduction to nonlinear optimization: theory, algorithms, and applications with Matlab. MOS-SIAM Series on Optimization, 2014.
E. de Klerk, C. Roos, Terlaky T.: Nemlineáris Optimalizálás. Bu- dapest, 2004.
A. Mircea: Practical optimiztaion with Matlab, Cambridge Scholars Publishing, 2019.

3. Sztochasztikus programozás:
Bizonytalanság melletti döntéshozatal, Bernoulli elv. Valószínűségi korlátok események uniójára. Markov döntési folyamat: Bellmann egyenletek; Érték iteráció és politika iterációs algoritmusok. A logkonkáv mértékek elmélete. Statikus sztochasztikus programozási modellek. Valószínűség maximalizálás.
Egyedi, illetve együttes valószínűségi korlátokat tartalmazó sztochasztikus programozási feladatok elmélete és megoldási módszerei. Véletlen célfüggvényes modellek. Dinamikus sztochasztikus programozási modellek. Kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat és matematikai tulajdonságai. Diszkrét valószínűségi vektorváltozókra vonatkozó kétlépcsős sztochasztikus programozási feladat megoldása bázis dekompozíciós módszerrel. A sztochasztikus dekompozíció és a feltételes sztochasztikus dekompozíció módszere.
Sztochasztikus optimalizálási eljárások: sztochasztikus gradiens módszer, Gauss folyamat; Bayes optimalizálás. Sztochasztikus döntési modellek: újságárus probléma, Véletlen készletezési modell, sorbaállási modellek, Elektromos energiatermelési kapacitás véletlen hatások melletti bővítése. Rendszerek megbízhatóságának számítása. Tározók szintszabályozása. Példa tározók optimális irányítására. A PERT optimalizálási probléma. Pénzügyi optimalizálási problémák.
Irodalom:
Prékopa, András. Stochastic programming. Vol. 324. Springer Science & Business Media, 2013.
Kall, Peter, Stein W. Wallace, and Peter Kall. Stochastic program- ming. Vol. 5. Chichester: Wiley, 1994.
Mayer, János. Stochastic linear programming algorithms: A compari- son based on a model management system. Routledge, 2022.
Kail, Peter, and Janos Mayer. ”Stochastic linear programming, models, theory, and computation.” (2005).
Birge, John R., and Francois Louveaux. Introduction to stochastic programming. Springer Science & Business Media, 2011.

4. Egészértékű programozás:
Alapvető modellek: hátizsák feladat, halmazfedési és felbontási feladat, kvad- ratikus hozzárendelési feladat, utazó ügynök feladat. Ipari alkalmazások
I: Telepítési problémák. Gépek és cellák elhelyezése. Integrált áramköri elemek elhelyezése rögzített pozíciókba. Telepítési problémák megkülönböztetése hasonló, de más természetű feladatoktól. Ipari alkalmazások
II: Ütemezési feladatok egzakt modelljei. Ipari alkalmazások
III: Az utazó ügynök feladat alkalmazása különböző ipari és kereskedelmi környezetben. Vágás típusú módszerek I: A Gomory-módszer. Vágás típusú módszerek II: Az utazó ügynök feladat poliéderének lapjai. Vágás típusú módszerek III: Metszési vágás (intersection cut) Leszámlálási módszerek Korlátozás és szétválasztás. Szétválasztás és vágás ; vágás és szétválasztás ; szétválasztás és árazás. Dinamikus programozás, Bellman-elv. Csoportelméleti módszer. Metaheurisztikák. Dualitás. Lagrange-szorzók. Benders-dekompozíció.
Irodalom:
Vizvári Béla: Egészértékű programozás, Typotex, 2006, Budapest
A. Schrijver, Theory of linear and integer programming, John Wiley and sons, 1986

5. Kombinatorikus optimalizálás:
Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson-algoritmus. Páros gráfok karakterizációja, maximális méretű párosítás páros gráfban. Kőnig, Frobenius és Hall tételei.
Gráfszínezések. Alsó és felső korlát a kromatikus számra. Egerváry algoritmusa. Fourier-Motzkin elimináció. Közelítő algoritmusok. Ütemezési problémák.
Irodalom:
Jordán Tibor, Recski András, Szeszlér Dávid: Rendszeroptimalizálás, Typotex Kiadó, 2004.
B. Korte, J. Vygen, Combinatorial optimization, Springer, 2018.

6. Szemidefinit optimalizálás:
Általános konvex optimalizálás. Kúp optimalizálás. SDP dualitás elmélet. SDP és belsőpontos algoritmus. Sedumi, Yalmip, Neos serveren a solverek. Polinom optimalizálás, SOS.
Irodalom:
E. de Klerk: Aspects of Semidefinite Programming, Kluwer Academic Publisher, 2002.
H. Wolkowicz, R. Saigal, L. Vandenberghe: Handbook of Semidefinite Programming - Theory, Algorithms, and Applications, Springer, 2000.

7. Globális optimalizálás:
Banach terek, duális tér, gyenge* topológia. Hahn-Banach tétel. Konvex függvények modern elmélete. Alulról félig folytonos függvények. Első duális, második duális, szubderivált, közelítő szubderivált. Optimum jellemzése. Ekeland-féle variációs elv és alkalmazásai. DC optimalizálás. Toland-Singer dualitási tétel. Kvadratikus optimalizálás. Konjugált gradiens módszer. Kvázi-Newton módszerek. Többcélú programozás. Metaheurisztikus algoritmusok. Szimulált hűtés, tabu keresés, változó szomszédsági keresés, genetikus algoritmusok, particle swarm algoritmus, hangya optimalizálási algoritmus.
Irodalom:
J. Nocedal and S. Wright: Numerical optimization, Springer, 2006.
R. Horst and P. M. Pardalos: Handbook of global optimization, Springer, 1995.
Y. Nesterov: Lectures on convex optimization, Springer, 2018.
P. Cortez: Modern optimization with R, Springer, 2014.
I. Ekeland and R. Temam: Convex analysis and variational problems, Elsevier, 1976.
Sean Luke: Essentials of Metaheuristics, Creative Commons, San Fran- cisco, 2016.

8. Konvex analízis:
Konvex halmazok algebrai és topológiai tulajdonságai. Dualitási kapcsolatok: szeparációs tételek, poláris, duális operátorok. Konvex/lineáris egyenlőtlenségrendszerek, extremális pontok és halmazok. Konvex függvények differenciálhatósága: iránymenti derivált, szubgradiens, folytonosság és monotonitás. Konvex optimalizálási feladat dualitás elmélete. Fenchel-féle dualitás. Konvex függvények maximuma. Nyeregfüggvények: folytonosság, differenciálhatóság. Minimax feladatok elmélete. Konvex algebra.
Irodalom:
R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970
J.M. Bornwein, A.S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimiza- tion, Springer, 2006
I. Ekeland, R. Temam, Convex analysis and variational problems, El- sevier, 1976

9. Dinamikus programozás:
Optimális stratégiák, diszkrét modellek. A dinamikus programozás alapelve. Kedvezőtlen és kedvező játékok, merész és óvatos stratégiák. Optimális parkolás, nagybeszerzés tervezése. Lagrange mechanika, Hamilton- Jacobi egyenlet. Viszkózus közelítés, Hopf-Cole transzformáció, a Hopf-Lax féle infimum-konvoluciós formula. Determinisztikus optimális kontroll, optimális beruházás stratégiája, az általános Hamilton-Jacobi egyenlet viszkózus megoldásai. Pontrjagin maximum elve, feltételes szélsőérték keresése függvény-térben. Sztochasztikus modellek optimális kontrollja, a Hamilton-Jacobi- Bellman egyenlet.
Irodalom:
L.C. Evans: Partial Differential Equations, AMS, Providence, R.I., 1998.

10. Ökonometria:
Bevezetés az ökonometriába. Kétváltozós kapcsolatok: lineáris regresszió,
legkisebb négyzetes (LS) becslés és statisztikai tulajdonságai, Gauss - Markov tétel, predikció. Többváltozós lineáris regresszió korrelálatlan, azonos szórású hiba, illetve általános hibafolyamat esetén, általános Gauss-Markov tétel, előrejelzés, multi-kollinearitás. általánosított LS módszer, speciális esetek (autokorrelált zaj, nem azonos szórású korrelálatlan zaj), segédváltozók (IV) módszere. Idősorok elemzése: stacionaritás, autokorreláció, fehérzaj folya- mat, speciális modellek (lineáris szűrők, autoregresszív (AR) folyamat, mozgóátlag (MA) folyamat, ARMA folyamatok). Paraméterbecslés (ML-becslés), előrejelzés. Integrált és kointegrált folyamatok (ARIMA modellek), trend, szezonalitás. Spektrálreprezentáció, periodogram és becslése, spektrum becslése. Többváltozós modellek: VAR(1) folyamatok, n-dimenziós ARMA folyamatok, stacionaritás, stabilitás, Lyapunov egyenlet. Frakcionálisan integrált folyamatok, ARFIMA modellek, hosszú emlékezetű folyamatok és becslésük. Sztochasztikus volatilitás modellek: ARCH és GARCH folyamatok, bilineáris folyamatok és jellemzőik, stacionaritás, paraméterbecslés, állapottér reprezentáció. Alkalmazások: pénzpiaci hozamok idősorának vizsgálata, biológiai adatok elemzése.
Irodalom:
Tusnády G. - Ziermann M.: Idősorok analízise, Műszaki 1986
Ramu Ramanathan: Bevezetés az ökonometriába, PANEM, Budapest, 2003

11. Játékelmélet:
Nemkooperatív játékelmélet: Nemkooperatív játékok, normál forma, véges játékok kevert bővítése (kevert stratégia bevezetése), Nash-egyensúly, (kevert) Nash-egyensúly létezésének bizonyítása, Korrelált egyensúly fogalma kapcsolata a Nash-egyensúllyal, racionalizálhatóság fogalma és kapcsolata a Nash-egyensúllyal, a (szigorúan) dominált stratégiák iteratív kiküszöbölésének módszere, illetve a racionalizálhatósággal való kapcsolata, Játékok faformában, faforma átírása normál formába, redukált forma, kevert és viselkedési stratégiák, a részjátéktökéletes Nash-egyensúly, a visszafelé indukció (backward in- duction) módszere, Nemteljes információs játékok, nemtökéletes információs játékok, Bayesi-játékok, ex-ante BayesiNash-egyensúly és interim Bayesi–Nash- egyenúly, illetve kapcsolatuk, a racionalizálhatóság és a visszafelé indukció kapcsolata, Tudás és köztudás, privát információ (agreeing to disagree), kev ert stratégia interpretációk, aszimmetrikus információ, szekvenciális egyensúly.
Kooperatív játékelmélet: Kooperatív játékok, kooperatív játékok fajtái, Nash-program, átruházható hasznosságú kooperatív játékok, a megoldás fogalma, a mag, a mag nemürességének szükséges és elégséges feltétele: a Bondareva–Shapley-tétel, A Shapley-érték fogalma, axiomatikus megközelítés, a Shapley-érték axiomatizálásai, Prenukleolusz, nukleolusz, axiomatizálási eredmények prenukleoluszra és nukleoluszra, További megoldáskoncepciók átruházható hasznosságú kooperatív játékokra: stabil halmaz és alkuhalmazok, Nemátruházható hasznosságú kooperatív játékok, a mag, a mag nemürességének elégséges feltétele: a Scarf-tétel, a mag ürességének szükséges és elégséges feltétele: Pi-kiegyensúlyozottság.
Irodalom:
A. Rubinstein, J.O. Martin: A Course in Game Theory, MIT Press (1994)
B. Peleg, P. Sudhölter: Introduction to the Theory of Cooperative Games, Springer (2007)

12. Irányításelmélet:
Bevezetés az irányításelméletbe. Véges dimenziós lineáris rendszerek irányíthatósága. Kálmán-féle rang feltétel. Irányíthatóság és megfigyelhetőség dualitása. Véges dimenziós nemlineáris rendszerek lokális irányíthatósága. A lineáris teszt. Lie algebra feltétel. Alkalmazás sodródás nélküli irányítású affin rendszerek esetén. Véges dimenziós nemlineáris rendszerek globális irányíthatósága. Irányítható lineáris rendszerek Lipschitz perturbációja. Globális irányíthatóság és homogenitás. Véges dimenziós lineáris rendszerek stabilizálása. Póluseltolódási tétel és alkalmazások. Néhány példa véges dimenziós nemlineáris rendszerek visszacsatolásos vezérléssel történő stabilizálására.
Irodalom:
L. C. Evans, An Introduction to Mathematical Optimal Control The- ory, University of California, Berkeley 2010.
D. Liberzon, Calculus of Variations and Optimal Control Theory: A Concise Introduction, Princeton Univ. Press, 2012.
Gyurkovics E´va, Optimális irányítások, Typotex, 2011.

13. Lineáris komplementaritási feladatok:
Mátrix analízis, pivotálási módszerek, mátrix faktorizálás, egyenletek iteratív megoldásai, lineáris egyenlőtlenségek, kvadratikus programozás.
Irodalom:
R.W. Cottle, J.-S. Pang, R.E. Stone, The linear complementary prob- lem, SIAM, 2009.

14. Operációkutatás számítógépes módszerei:
Operációkutatási modellek számos valós probléma megoldására alkalmazhatók.
Olajfinomítói ütemezés, Különbségek az LP/IP/MILP között, A Hátizsák-probléma, Linearizálás, Szakaszonként Lineáris közelítések, Geometriai feladatok modellezése, Minimax célfüggvények, Modellezés gráfokkal, A Készlet Vágás (Cutting Stock) probléma, Portfóliószelekció, Kvadratikus programozás, Automatikus Sudoku megfejtő, Constraint Programming, ütemezési problémák, Az Utazó ügynök probléma, Nemlineáris Programozás, A Pooling probléma.
Irodalom:
Ruhul Amin Sarker, Charles S. Newton - Optimization modelling: A practical approach
H. Paul Williams - Model Building in Mathematical Programming
Leo Liberti - Problems and exercises in Operations Research