Differenciálegyenletek és megoldásuk

BME Matematika- és Számítástudományi Doktori Iskola > Komplex vizsga tematikák

1. Közönséges differenciálegyenletek:
Egzisztencia, unicitás, folytonos függés és a mögöttes fixpont-tételek. Folytonos és diszkrét idejű dinamikai rendszerek. Határhalmazok. Lineáris egyenletek. Lokális elmélet hiperbolikus egyensúlyi helyzet és periodikus pálya körül, stabil és instabil sokaságok. Stabilitás és Ljapunov- függvény.
Irodalom:
V.I. Arnold, Közönséges Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó,Budapest, 1986. (1–4 fejezet)
D.K. Arrowsmith & C.M. Place, An Introduction to Dynamical Sytems, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. (1–4 fejezet)

2. Dinamikai rendszerek:
Strukturális stabilitás. Grobman Hartman lemma. Lokális bifurkációk alaptípusai. Centrális sokaság. Attraktor-repellor párok, Morse-dekompozíció, Conley-rekurrencia, Morse-Smale rendszerek. Smale-patkó. Homoklinikus pálya, Birkhoff-Smale tétel.
Irodalom:
C. Robinson, Dynamical Systems, CRC Press, Boca Raton, 1995. (4; 5; 7.4.1–7.4.2; 7.12; 9.1 fejezet)
S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Springer, Berlin, 1995. (4.1–4.4 fejezet)

3. Káosz és ergodelmélet:
Szimbolikus/shift dinamika. Intervallumleképezések. Invariáns mértékek diszkrét és folytonos idejű dinamikai rendszerekben. Ergo mértékek. Topologikus entrópia. Hausdorff-dimenzió. Iterált függvényrendszerek, fraktálok.
Irodalom:
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory, Springer, Berlin, 1982. (1; 4 fejezet)
K. Falconer, Techniques in Fractal Geometry, Wiley, New York, 1997. (2 fejezet)

4. Numerikus dinamika:
Az eredeti és diszkretizált dinamika összehasonlítása attraktorok, invariáns sokaságok és (intervallum-aritmetika, fixpont-index). Smale-patkó típusú káosz vonatkozásában. Struktúra és konvergenciabecslések kapcsolata, szimplektikus diszkretizációk.
Irodalom:
M. Stuart & A.R. Humphries, Dynamical Systems and Numerical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (4; 6-7 fejezet)

5. Funkcionál differenciálegyenletek:
A megoldó-operátor alaptulajdonságai: egzisztencia, unicitás, folytonos függés, kompaktság. Lineáris egyenletek. A kvalitatív elmélet elemei: stabilitás, Ljapunov-függvény, hiperbolikus egyensúlyi helyzet stabil és instabil sokasága.
Irodalom:
J.K. Hale, Functional Differential Equations, Springer, Berlin, 1971. (1–5; 8–13; 19–20; 22; 24–26 fejezet)

6. Dinamikai modellek a biológiában:
Populációdinamika:Kolmogorov-rendszerek, korstruktúrával rendelkező és térben elhelyezkedő ökológiai rendszerek. Mintáz Járványterjedési modellek. Evolúcióelmélet, populációgenetika, játékelméleti modellek.
Irodalom:
J. Hofbauer & K. Sigmund, Evolutionary Games and Population Dyamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. (12-13; 18-19 fejezet)
M. Farkas, Dynamic Models in Biology, AP, New York, 2001. (1-2; 5 fejezet)

7. Irányításelmélet:
Lineáris irányítási rendszerek alaptulajdonságai: irányíthatóság, megfigyelhetőség, stabilizálhatóság, realizáció. Optimális irányítások, a Pontrjagin-féle maximumelv. Dinamikus programozás, a Hamilton-Jacobi-Bellman egyenlet.
Irodalom:
A. Strauss, An Introduction to Optimal Control Theory, Springer, Berlin, 1982. Gyurkovics Éva, Irányítási rendszerek, BME, Internet, 1999
E.D. Sontag, Mathematical Control Theory, Springer, Berlin 1998. ( 8. fejezet )

8. KDE numerikus módszerei:
Kezdetiértékfeladatok közelítő megoldása, konvergencia, stabilítás, Lax-ekvivalencia. Egy-és többlépéses módszerek. Kétpontos peremértékproblémák és közelítő megoldásuk: shooting, véges differenciák. Galerkin és végeselem módszerek.
Irodalom:
A, Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000. (11-12.fejezet)

9. Klasszikus parciális differenciálegyenletek:
A karakterisztikák módszere. Alapvető tudnivalók a Laplace/Poisson, a hővezetési és a hullámegyenletről. Harmonikus függvények. Weyl-lemma. Fourier-módszer.
Irodalom:
F. John, Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 1971. ( I-IV.fejezet)
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (2.fejezet)

10. Szoboljev terek:
Szoboljev-terek, beágyazási tételek, leszorítás a peremre, szinguláris integrálok. Disztribúciók, alapmegoldások konvolúcióval, Fourier-analízis. Operátorfélcsoportok és infinitézimális generátoraik, perturbációs és approximációs tételek.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (5.fejezet)
M. Reed & B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics II., AP, New York, 1975. (IX. 1-2, 5-6 fejezet)
J.A. Goldstein, Semigroups of Linear Operators and Applications, Oxford University Press, Oxford, 1985. (1-7 fejezet)

11. Lineáris elliptikus egyenletek:
Gyenge megoldás. Lax-Milgram lemma, átfogalmazás variációs feladattá, sajátérték- és sajátfüggvényelmélet, energiaegyenlőtlenségek, (belső és perem) elliptikus regularitás, maximum elvek.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (6 fejezet)

12. Lineáris parabolikus és hiperbolikus egyenletek:
Lineáris parabolikus egyenletek, gyenge megoldás, energiaegyenlőtlenségek, regularítási tételek, maximum elvek. Lineáris hiperbolikus egyenletek: gyenge megoldás, energia egyenlőtlenségek, díszturbanciák
terjedése.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (7.1-7.2 fejezet)

13. Reakció-diffúzió egyenletek:
Egzisztencia és unicitástétel kvázilineáris egyenletekre Banach-térpárokon. Regularitási tétel. A kvalitatív elmélet elemei: stabilit hiperbolikus egyensúlyi helyzet stabil és instabil sokasága, utazó hullámok.
Irodalom:
D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Springer, Berlin, 1981.(1.4-1.5:3.1-3.6: 5.1-5.4 fejezet )
J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion Equations, Springer, Berlin, 1983. (15-16 fejezet)

14. Nemlineáris hiperbolikus egyenletek:
Hiperbolikus megmaradási elvek. Burgers-egyenlet, lökéshullámok, Riemann probléma. Hopf-Lax formula, Oleinik tétel. A kompenzált kompaktság módszere, viszkózus közelítés, Tartar és Murat alaptételei, DiPerna-elmélet.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (3.3-3.4 fejezet)
J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion Equations, Springer, Berlin, 1983. (15-16 fejezet)
L. Hörmander, Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations, Springer, Berlin, 1997.

15. PDE numerikus módszerei: Projekciós módszerek:
Galerkin, végeselem. A végeselem módszer funkcionálanalízisbeli megalapozása elliptikus egyenletekre. A differenciák módszere a Laplace, a hővezetési és a hullámegyenletre, stabilitási feltételek.
Irodalom:
A, Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000, (13.fejezet) D.Braess, Finite Elements, Cambridge University Press, Cambridge, 1997. (1-2 fejezet)

16. Nagyméretű lineáris egyenletrendszerek:
Direkt módszerek blokkosított és általános ritka mátrixú egyenletek megoldására. Iterációs módszerek, gradiens és konjugált gradiens módszer. Relaxációs eljárások. Prekondicionálás.
Irodalom:
A, Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000. (3-4 fejezet)