PhD szigorlat Sztochasztika tárgyai

  

 

Főtárgy:
Valószínűségszámítás: 1+2+3+4+5.
Információelmélet: 3+4+6+8.
Statisztika: 1+7+8+9.
Melléktárgy: Bármely kettő a fenti témák közül.

 

1. A valószínűségszámítás alapjai: Kolmogorov axiómarendszere, mértékelmélet. Borel-Cantelli lemmák. Konvergenciatípusok és kritériumaik. Egyenletes integrálhatóság . Dunford és Pettis tétele. Kolmogorov alaptétele. Sztochasztikus folyamat folytonosságának Kolmogorov kritériuma. Feltételes  várható érték, reguláris feltételes eloszlás. Valószínűségi mér­té­kek metrikus terekben, gyenge konvergencia, kompaktsági kritérium (Prohorov) Mértékek a C[0,1] és D[0,1] függvénytereken, a feszesség kritériumai.

 

Irodalom:

Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972.

John Lamperti: Probability. A survey of the mathematical theory. Wiley, New York, 1996.       

Richard Durrett: Probability: theory and examples. Duxbury Press, Belmont, CA, 1996.

Patrick Billingsley: Convergence of probability measures. Wiley, New York, 1999.

 

2. Martingálok és határeloszlástételek: Martingál egyenlőtlenségek, megállási szabályok, opcionális megállás. Szubmartingál, konvergencia tétel, feltételes variancia folyamat. Kolmogorov 0-1 törvény, nagy számok törvényei, iterált logaritmus tétel. Centrális határeloszlástétel (globális és lokális alak). Cramer tétele, a nagy eltérések elmélete.

 

Irodalom:

Richard Durrett:  Probability:  theory and examples.   Duxbury Press, Belmont, CA, 1996.

David Williams:  Probability with martingales.  Cambridge University Press,    Cambridge, 1991

Amir Dembo, Ofer Zeitouni:  Large deviations techniques and applications.      Springer-Verlag, New York, 1998

 

3.    Bolyongások és Markov láncok: Rekurrencia probléma, Pólya tételek.  Tükrözési elv és alkalmazásai, arcsin tételek.  Potenciálelmélet. Markov lánc állapotainak osztályozása, rekurrencia fogalmak.  Stacionárius mérték, ergodtételek. Megfordított lánc, reverzibilitás. Felújítási folyamatok. Elágazó folyamatok.  Születési-kihalási folyamatok.  Tömegkiszolgálási folyamatok. Markov mezők, Gibbs mértékek, Ising modell.

 

Irodalom:

William Feller:  An Introduction to Probability Theory and its Applications I.  Wiley, New York 1968.

Frank Spitzer:  Principles of random walks. Springer, New York, 1976.

Samuel Karlin, Howard Taylor:  Sztochasztikus folyamatok.  Gondolat Kiadó, Bp.  1985

 

4.    Stacionárius folyamatok, ergodelmélet: L2-elmélet, spektrálmérték, spektrális jellemzés. Gauss folyamatok, mozgó átlag- , autoregressziv-, ARMA-folyamatok. Orn­stein-Uhlenbeck folyamat. Az ergodelmélet alappéldái:  körvonal forgatása, tórusz eltolása, pék leképezése, Arnold macskája, Gauss-leképezés.  Neumann és Birkhoff-Hincsin ergodtételei.  Kingman szubadditív ergodtétele.  Ergodikus és keverő leképezések, entrópia-elmélet (Kolmogorov-Sinai-tétel). Szimbolikus dinamika, Bernoulli-automorfizmusok.

 

Irodalom: 

John Lamperti:  Stochastic Processes – a Survey of the Mathematical Theory.   Springer 1977.

Peter Walters:  An introduction to ergodic theory.  Springer-Verlag, New York- Berlin, 1982. ide kell még valami

 

5.    Sztochasztikus analízis:  Wiener folyamat:  konstrukció és alaptulajdonságok.  Donsker-féle (gyenge) invariancia elv.  Poisson folyamat. Itô integrál Wiener folyamat szerint. Nevezetes sztochasztikus differenciálegyenletek (Ornstein-Uhlenbeck folyamat, Bessel folyamatok). Diffuziós folyamatok.  Cameron-Mar­tin-Girsanov tétel, Feynman-Kac formula.  Alkalmazás a pénzügyi matematikában:  Black-Scholes formula.

 

Irodalom:

Daniel Revuz, Marc Yor:  Continuous martingales and Brownian motion.  Third   edition.  Springer-Verlag, Berlin, 1999

Kai-Lai Chung, Ruth Williams:  Introduction to Stochastic integration.  Second Edition.  Birkhäuser 1990.

H. P. McKean:  Stochastic Integrals.  Academic Press, New York, 1969

 

6. Információelmélet: Az információmennyiség mértékszámai, a típusok módszere.  For­rás­kó­do­lás állandó és változó hosszúságú kódszavakkal. Shannon–kód, Huffmann kód, aritmetikai kódolás.  Univerzális kódolás emlékezet nélküli, Mar­kov és véges állapotú forrásokra, a Lempel–Ziv kód és változatai. Kódolási tételek emlékezet nélküli csatornákra, lineáris kó­dok.  Információelméleti módszerek a statisztikában.

 

Irodalom:

Imre Csiszár, János Körner:  Information theory. Third edition. Akadémiai Kiadó, Budapest 199?

Thomas Cover, Joy Thomas:  Elements of information theory.  John Wiley &  Sons, Inc., New York, 1991

 

7.    Statisztikai alapfogalmak, becsléselmélet:   Tapasztalati eloszlás, Glivenko–Cantelli tétel.  Rendezett minták elmélete. Kolmogorov–Szmirnov tételkör. Tapasztalati eloszlásfüggvény gyenge konvergenciája a Wiener hídhoz. Elégséges és teljes statisztika fogalma, Neyman–Fisher   faktorizáció, exponenciális eloszláscsalád. Pontbecslések: torzítatlanság,  efficiencia, konzisztencia. Rao–Blackwell–Kolmogorov tétel, Cramér-Rao típusú e­gyen­lőt­len­sé­gek. Becslési módszerek:  maximum likelihood elv, momentumok módszere, Bayes becslések és e becslések tulajdonságai. Intervallumbecslések, Student- és c2-eloszlás tulajdonságai.


Irodalom:

Borovkov A. A.: Matematikai statisztika.  Typotex, Budapest, 1999.

Johnson R.A., Bhattacharyya G.K.: Statistics. Principles and Methods. Wiley,  New York,1992.

Kendall M.G., Stuart A.: The Theory of Advanced Statistics I-II. Griffin, London, 1966.

Lehman E. L.: Theory of Point Estimation.  Wiley, New York, 1983.

 

8.   Hipotézisvizsgálat: Hipotézisvizsgálati alapfogalmak, randomizált próbák. Neyman–Pearson alaplemma és kiterjesztései összetett hipotézisek vizsgálatára monoton likelihood-hányadosú eloszláscsalád esetén .  E­gyen­letesen legerősebb és tor­zítat­lan próbák, nagy eltérés tételek alkal­mazása a statisztiká­ban.  Egyoldali, két­ol­da­li ellen­hipo­tézisek; likelihood-hányados próba, a próbastatisztika a­szimp­totikus eloszlása. Klasszikus paraméteres és nemparaméteres próbák op­ti­ma­li­tása. Kol­mo­go­rov–Szmirnov próbák. A Wald- féle szekvenciális eljárás, Wald-Wolfowitz tétel.


Irodalom:

Borovkov A. A.: Matematikai statisztika.  Typotex, Budapest, 1999.

Johnson R.A., Bhattacharyya G.K.: Statistics. Principles and Methods. Wiley, New York, 1992.

Kendall M.G., Stuart A.: The Theory of Advanced Statistics II-III. Griffin, London, 1966.

Lehman E. L.: Testing Statistical Hypotheses.  Wiley, New York, 1959.   

 

9.   Többdimenziós analízis: Többdimenziós normális eloszlás, Wishart eloszlás. A többdimenziós normális eloszlás paramétereinek maximum likelihood becslése, hipotézisvizsgálatok.  Többváltozós lineáris regresszió, lineáris modell, lineáris becslések, Gauss–Markov tétel, statisztikai próbák a lineáris modellben.  Variancia- és kovariancia analízis, Fisher-Cochran-tétel. Főkomponensanalízis, faktoranalízis, kanonikus korrelációanalízis. Osztályozási módszerek, alakfelismerés:  klaszteranalízis, diszkriminanciaanalízis.  Többdimen­zi­ós ská­lá­zás. Kontingenciatáblázatok elemzése:  korrespondanciaanalízis, loglineáris mo­dellek.  Többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis, Kaplan–Meier becslés cenzorált adatokra. EM algoritmus hiányos adatokra, ACE (Alternating Conditional Expectation) algoritmus az általánosított regressziós feladatra.

 

Irodalom:

Anderson T.W.: An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. Wiley, New York, 1949.

Lawley D.N., Maxwell A.E.: Factor Analysis as a Statistical Method. Butterworths, London, 1971.

Móri F.T., Székely J.G.: Többváltozós statisztikai analízis. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986.

Rao C.R.: Linear Statistical Inference and Its Applications. Wiley, New York,

1965.

Bolla, M.: Többváltozós matematikai statisztika jegyzet.  BME Matematika   Intézet, Sztochasztika Tanszék, Bolla M. honlapján.