PhD szigorlat Differenciálegyenletek és megoldásuk tárgyai
Főtárgy:
Közönséges DE: 1+2+3+4+5+6.
Parciális DE: 9+10+11+12+13+14.
Numerikus módszerek: 1+4+7+8+15+16.
Melléktárgyak: Valamelyik főtárgy bármely két témája.
1. Közönséges
differenciálegyenletek: Egzisztencia, unicitás, folytonos
Irodalom:
V.I. Arnold, Közönséges Differenciálegyenletek,
Műszaki Könyvkiadó,Budapest, 1986. (1–4 fejezet)
D.K. Arrowsmith & C.M. Place, An
Introduction to Dynamical Sytems, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
(1–4 fejezet)
2. Dinamikai rendszerek: Strukturális
stabilitás. Grobman Hartman lemma.
Irodalom:
C. Robinson, Dynamical Systems, CRC Press, Boca
Raton, 1995. (4; 5; 7.4.1–7.4.2; 7.12; 9.1 fejezet)
S. Wiggins, Introduction to Applied Nonlinear
Dynamical Systems and Chaos, Springer, Berlin, 1995. (4.1–4.4 fejezet)
3. Káosz és
ergodelmélet: Szimbolikus/shift
dinamika. Intervallumleképezések. Invariáns mértékek diszkrét és folytonos
idejű dinamikai rendszerekben. Ergodikus mértékek. Topologikus entrópia.
Hausdorff-dimenzió. Iterált függvényrendszerek, fraktálok.
Irodalom:
P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory,
Springer, Berlin, 1982. (1; 4 fejezet)
K. Falconer, Techniques in Fractal Geometry,
Wiley, New York, 1997. (2 fejezet)
4. Numerikus
dinamika: Az
eredeti és diszkretizált dinamika összehasonlítása attraktorok, invariáns
sokaságok és (intervallum-aritmetika, fixpont-index). Smale-patkó típusú káosz
vonatkozásában. Struktúra és konvergenciabecslések kapcsolata, szimplektikus
diszkretizációk.
Irodalom:
M. Stuart & A.R. Humphries, Dynamical
Systems and Numerical Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
(4; 6-7 fejezet)
5. Funkcionál differenciálegyenletek: A megoldó-operátor alaptulajdonságai:
egzisztencia, unicitás, folytonos függés, kompaktság. Lineáris egyenletek. A
kvalitatív elmélet elemei: stabilitás, Ljapunov-függvény, hiperbolikus
egyensúlyi helyzet stabil és instabil sokasága.
Irodalom:
J.K. Hale, Functional Differential Equations,
Springer, Berlin, 1971. (1–5; 8–13; 19–20;
22; 24–26 fejezet)
6. Dinamikai
modellek a biológiában: Populációdinamika:
Kolmogorov-rendszerek, korstruktúrával rendelkező és térben elhelyezkedő
ökológiai rendszerek. Mintázatképződés. Járványterjedési modellek.
Evolúcióelmélet, populációgenetika, játékelméleti modellek.
Irodalom:
J. Hofbauer & K. Sigmund, Evolutionary
Games and Population Dyamics,
Cambridge University Press, Cambridge, 1998. (12-13;
18-19 fejezet)
M. Farkas, Dynamic Models in Biology, AP, New York, 2001. (1-2; 5
fejezet)
7. Irányításelmélet:
Lineáris
irányítási rendszerek alaptulajdonságai:
A. Strauss, An Introduction to Optimal Control Theory,
Springer, Berlin, 1982.
Gyurkovics Éva, Irányítási rendszerek, BME,
Internet, 1999
E.D. Sontag, Mathematical Control Theory,
Springer, Berlin 1998. ( 8. fejezet )
8. KDE numerikus módszerei: Kezdetiértékfeladatok közelítő megoldása,
Irodalom:
A, Quarteroni, R.
Sacco & F.
Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000. (11-12.fejezet)
9. Klasszikus parciális differenciálegyenletek:
A karakterisztikák módszere. Alapvető
tudnivalók a Laplace/Poisson, a hővezetési és a hullámegyenletről. Harmonikus
függvények. Weyl-lemma. Fourier-módszer.
Irodalom:
F. John, Partial Differential Equations,
Springer, Berlin, 1971. ( I-IV.fejezet)
L.C. Evans,
Partial Differential Equations, AMS, Providence, 1998. (2.fejezet)
10. Szoboljev terek: Szoboljev-terek, beágyazási tételek,
leszorítás a peremre,
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS,
Providence, 1998. (5.fejezet)
M. Reed & B. Simon, Methods of Modern
Mathematical Physics II., AP, New York, 1975. (IX. 1-2, 5-6 fejezet)
J.A. Goldstein, Semigroups of Linear Operators and
Applications,
11. Lineáris elliptikus egyenletek: Gyenge megoldás. Lax-Milgram lemma,
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS,
Providence, 1998. (6 fejezet)
12. Lineáris parabolikus és hiperbolikus
egyenletek: Lineáris
parabolikus egyenletek, gyenge megoldás, energiaegyenlőtlenségek, regularítási
tételek, maximum elvek. Lineáris hiperbolikus egyenletek: gyenge megoldás,
energia egyenlőtlenségek, díszturbanciák terjedése.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS,
Providence, 1998. (7.1-7.2 fejezet)
13.
Reakció-diffúzió egyenletek: Egzisztencia és unicitástétel kvázilineáris
egyenletekre Banach-térpárokon. Regularitási tétel. A kvalitatív elmélet
elemei: stabilitás, hiperbolikus egyensúlyi helyzet stabil és instabil
sokasága, utazó hullámok.
Irodalom:
D. Henry, Geometric Theory of Semilinear
Parabolic Equations, Springer,
J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion
Equations, Springer, Berlin,
14.
Nemlineáris hiperbolikus egyenletek: Hiperbolikus megmaradási elvek. Burgers-egyenlet,
lökéshullámok, Riemann probléma. Hopf-Lax formula, Oleinik tétel. A kompenzált
kompaktság módszere, viszkózus közelítés, Tartar és Murat alaptételei,
DiPerna-elmélet.
Irodalom:
L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS,
Providence, 1998. (3.3-3.4 fejezet)
J. Smoller, Shock Waves and Reaction Diffusion
Equations, Springer, Berlin,
1983. (15-16 fejezet)
L. Hörmander, Lectures on Nonlinear Hyperbolic
Differential Equations, Springer, Berlin, 1997.
15. PDE numerikus
módszerei: Projekciós
módszerek: Galerkin, végeselem. A végeselem módszer funkcionálanalízisbeli
megalapozása elliptikus egyenletekre. A véges differenciák módszere a Laplace,
a hővezetési és a hullámegyenletre, stabilitási feltételek.
Irodalom:
A, Quarteroni, R.
Sacco & F.
Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000, (13.fejezet)
D.Braess, Finite Elements, Cambridge University Press,
Cambridge, 1997. (1-2 fejezet)
16. Nagyméretű
lineáris egyenletrendszerek: Direkt
módszerek blokkosított és általános ritka mátrixú egyenletek megoldására.
Iterációs módszerek, gradiens és konjugált gradiens módszer. Relaxációs
eljárások. Prekondicionálás.
Irodalom:
A, Quarteroni, R.
Sacco & F.
Saleri, Numerical Mathematics, Springer, Berlin, 2000. (3-4 fejezet)