PhD szigorlat Analízis tárgyai

Főtárgyak:
Valós és komplex függvények: 1+4+5.
Funkcionálanalízis: 2+3+6.
Alkalmazott analízis: 7+8+9.

Melléktárgy: Bármely kettő a fenti témák közül.

Mérték és integrálelmélet: s-algebra és szorzat s-algebra, mérhető terek és mérhető függvények, mérték, az absztrakt

Lebesgue-integrál felépítése, konvergencia-tételek, szorzatmérték és a Fubini-tétel, elpé-terek, a C(K) tér duálisa, előjeles
mérték Jordan-felbontása, Lebesgue-felbontás abszolút folytonos és szinguláris részre, invariás mérték lokálisan kompakt topologikus csoportokon (egzisztencia, unicitás és példák),  az integrálás általánositásai (Bochner- és Pettis-integrál).

Irodalom

P. Malliavin, Integration and Probability I.-III. fejezet, Springer

D. L. Cohn, Measure theory, Birkhauser, 1980

J. Diestel and J.J. Uhl, Vector measures  (AMS, 1977)

2. Operátoralgebrák: Topológiák a Hilbert-tér korlátos operátorain, -algebrák elemi elmélete: pozitív lineáris funkcionálok, kommutatív algebrák, a Gelfand-féle reprezentációs tételek, a GNS konstrukció; Neumann-algebrák elemi elmélete: a Neumann-féle második kommutáns tétel, a Kaplansky-féle sűrűségi tétel; projekciók geometriája, a faktorok típusai.

Irodalom

R. V. Kadison, J. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras I. kötet, Academic Press.

G. K. Pedersen, C*algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1979.

3. Mátrixanalízis: Mátrixok sajátértékei, szinguláris értékei és sajátvektorai, pozitív definit mátrixok, mátrixnormák, a majorizálás reláció, operátor monoton és operátor konvex függvények, mátrix függvények differenciálása, nemnegatív elemű mátrixok.

Irodalom

R. Bhatia: Matrix analysis, Springer

4. Komplex analízis: Komplex vonalintegrál, Cauchy formulák, Liouville-tétel, maximumelv és változatai (harmonikus függvények, Phragmén-Lindelöf tételek) Morera tétele, residuumtétel és alkalmazásai, konform leképezések, Weierstrass-szorzat. Mittag-Leffler tétel, analitikus folytatás.

Irodalom

J. Bak, D. J. Newman, Complex analysis, Springer

J. Duncan, Bevezetés a komplex függvénytanba, Műszaki Könyvkiadó, 1974

H. A. Priestley, Introduction to complex analysis, Oxford Sci. Pub., 1990

5. Fourier analízis: Fourier-sorok konvergenciája: Dirichlet-mag, Fejér-mag, konvergencia kritériumok, divergencia-jelenségek. Fourier-együtthatók. Bochner tétel. Fourier-transzformáció tulajdonságai. Lokálisan kompakt Abel-csoportok Fourier analízise: dualitás, struktúra-tétel, multiplikátor-probléma.

Irodalom

M. Rudin, Fourier analysis on groups I.-V. fejezet, Intersciences Publ. Edwards, Fourier series I.

6. Funkcionálanalízis: Topologikus vektorterek Banach-terek, duális tér, a Fourier transzformáció és a gyorsan csökkenő függvények tere, a disztribúcióelmélet alapjai, kompakt operátorok, Banach algebrák elemi elmélete, korlátos operátorok Hilbert-terekben, a spektrál tétel, a Cayley-transzformáció, önadjungált operátorok, operátor félcsoportok.

Irodalom

W. Rudin, Functional analysis, John Wiley

J. B. Conway, A course in functional analysis, Springer

Petz. D, Lineáris Analízis, Műegyetemi Kiadó, 2001

7. Lineáris rendszerek: Problémák linearizálása. Az átmeneti (transition) mátrix. Mátrixok exponenciális függvénye és inhomogén lineáris differenciál egyenlet. Periodikus egyenletek. Aszimptotikus viselkedés. Lineáris idővariáns és invariáns rendszerek. Irányíthatóság. Megfigyelhetőség. A weighting pattern és minimális realizációk. Az időinvariáns eset: a frekvenciaválasz. Realizálás-elmélet, McMillan fokszám. Visszacsatolás. Pozitív lineáris rendszerek. A legkisebb négyzetek módszerének alkalmazása. Stabilitás. Digitális filterek és lineáris rendszerek. Hardy terek. Approximáció és interpoláció. Hankel-norma approximáció és minimalizálás. Rendszer redukció.

Irodalom

R. W. Brockett, Finite dimensional linear systems, John Wiley, 1970

C. K. Chui and G. Chen, Discrete optimization, Springer, 1997

8. Approximációelmélet: Legjobb megközelítés létezése és unicitása. Lineáris operátorokkal való közelítés, Korockin tétele, Bernstein operátor. Lagrange interpoláció. A legjobb megközelítés egyenletes konvergenciája, Weierstrass típusú tételek. Legjobb megközelítés integrál normákban, ortogonális polinomok. Spline függvényekkel való interpoláció és approximáció. Csebisev polinomok extremális tulajdonságai.

Irodalom

M. J. D. Powell, Approximation theory and methods, Cambridge Univ. Press, 1988

R. A. Devore, G. G. Lorentz, Constructive Approximation, Springer, 1991

9. Numerikus módszerek: Hibaanalízis; lineáris egyenletrendszerek direkt és iterációs megoldása; sajátértékek és sajátvektorok közelítő kiszámítása; nemlineáris egyenletek és egyenletrendszerek numerikus megoldása; interpoláció; közelítés legkisebb négyzetek értelemben; numerikus integrálás; közönséges differenciálegyenletek kezdeti- és peremérték feladatainak numerikus megoldása.

Irodalom

Stoyan Gisbert, Takó Galina, Numerikus módszerek I-II. Typotex, Budapest, 1993, 1995
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical Mathematics Springer, New York 2000