PhD szigorlat Algebra és logika tárgyai
Főtárgyak:
Algebra I.: 1+2+4+5+6+7+9.
Algebra II. és logika: 3+5+10+11+12+13+14.
Melléktárgyak: 1+2, 4+5+9, 8+15, 6+7, 3+10+11, 12+13+14.
1. Csoportok: Feloldható csoportok: a Sylow tétel általánosításai. Véges p-csoportok
és nilpotens csoportok. Egyszerű csoportok: a
klasszikus egyszerű csoportok, sporadikus csoportok, Lie-típusú
csoportok. Bővítéselmélet, Schur-Zassenhaus tétel.
Szabad csoportok. A Burnside-probléma. Többszörösen
tranzitív, ill. primitív permutációcsoportok. Abel
csoportok: tiszta részcsoportok, bázisalcsoportok.
Irodalom:
J.J. Rotman: An
introduction to the theory of
groups; Springer, 1995.
D.J.S.
Robinson: A course in the theory of
groups; Springer, 1996.
L. Fuchs:
Infinite Abelian groups I-II.; Academic
Press, 1970, 1973.
2. Csoportreprezentációk: Karakterek: ortogonalitási
relációk, indukálás. Frobenius-reciprocitás, Clifford-elmélet, karakterfokok. Alkalmazások: Burnside-tétel, Frobenius mag, karakterizációk az involúciók
centralizátoraival. Projektív reprezentációk, Schur-multiplikátor.
A csoportalgebra szerkezete. A moduláris reprezentációelmélet elemei.
Irodalom:
I.M. Isaacs: Character
theory of finite groups; Dover, 1994.
G. Navarro:
Characters and blocks of finite
groups; Cambridge Univ.
Press, 1998.
3. Félcsoportok
és automaták: Green-relációk. Transzformáció-félcsoportok.
Teljesen zérus- egyszerű félcsoportok. Reguláris és
inverz félcsoportok.
Automataleképezések. Egyszerű
automaták. Automaták szorzatai. Automaták teljes rendszerei. Automaták és
nyelvek. Erősen összefüggő automaták.
Irodalom:
J.M.
Howie: An introduction to semigroup theory; Academic Press, 1976.
A.H.
Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups;
AMS, 1961, 1967.
F. Gécseg,
I. Peák: Algebraic theory of automata; Akadémiai
Kiadó, 1972.
J.M.
Howie: Automata and languages; Clarendon Press, 1991.
F. Gécseg:
Products of automata;
Springer, 1986.
Révész Gy.: Bevezetés a formális nyelvek elméletébe, Tankönyvkiadó,
1979.
J. Hopcroft,
J.D. Ullman: Introduction to automata theory, languages and computation, Addison-Wesley, 1979.
4. Nem-kommutatív gyűrűk: Wedderburn-Artin-tétel. Primitív gyűrűk, sűrűségi tétel, Jacobson-radikál. Láncfeltételek: Artin-
és Noether-gyűrűk. Centrálisan egyszerű algebrák: Brauer-csoport, algebrák keresztszorzata. Modulusok:
projektív és injektív modulusok. Azumaya-Remak-Krull-Schmidt-tétel.
Morita-ekvivalencia.
Irodalom:
F.W.
Anderson, K.R. Fuller: Rings and
categories of modules; Springer, 1974.
R.S. Pierce:
Associative algebras;
Springer, 1982.
5. Homologikus
algebra: Derivált funktorok:
Ext és Tor. Homológiák
hosszú egzakt sorozatai. Homologikus dimenziók:
projektív és globális dimenzió.
Irodalom:
C.A.
Weibel: An introduction to homological algebra; Cambridge Univ.
Press, 1994.
J.J.
Rotman: An introduction to homological algebra; Academic Press, 1979.
6. Kommutatív algebra: Prím és primér ideálok.
Lokalizálás. Noether-féle normalizációs
lemma. Diszkrét értékelés-gyűrűk, Dedekind-gyűrűk.
Irodalom:
M. Atiyah,
I.G. Macdonald: Introduction to commutative algebra; Addison-Wesley
1969.
D. Eisenbud:
Commutative algebra with a view toward algebraic
geometry; Springer, 1955. H. Matsumura: Commutative
ring theory; Cambridge Univ.
Press, 1988.
7. Algebrai geometria: Affin és projektív algebrai sokaságok, görbék.
Koordinátagyűrűk. Biracionális leképezések.
Elliptikus görbék.
Irodalom:
R. Shafarevich:
Basic algebraic geometry, Vol. I. ; Springer, 1994.
R. Hartshorne:
Algebraic geometry;
Springer, 1977.
8. Testek: Galois-elmélet. Transzcendens bővítések. Lüroth-tétel.
Rendezett testek: Artin-Schreier-elmélet. Véges
testek, hibajavító kódok.
Stewart: Galois theory;
Irodalom:
P.M. Cohn:
Algebra, I-III. ; Wiley,
1982, 1989, 1991.
9. Lie
algebrák: Nilpotens Lie-algebrák: Engel tétele. Feloldható Lie-algebrák.
A komplex test fölötti féligegyszerű Lie-algebrák. Gyökrendszerek. Chevalley-bázis.
Burkoló algebra: Poincaré-Birkhoff-Witt-tétel.
Irodalom:
J. E Humphreys:
Introduction to Lie algebras and
representation theory; Spinger, 1972, reprinted, 1997.
J.-P. Serre: Lie algebras and
Lie groups; Springer, 1992.
W. Fulton,
J. Harris: Representation Theory; Springer, 1991.
10. Univerzális algebra: Varietások, szabad algebrák, Birkhoff-féle
azonosságelmélet. Szubdirekt felbontás. Kongruenciahálók. Malcev típusú
tételek kongruencia disztributív és moduláris varietásokra.
Klónok, Rosenberg tétele.
Teljességi tételek, primál algebrák. Boole reprezentáció. Diszkriminátor
varietások. A kommutátor elmélet alapjai, “szelíd
kongruenciák”
Irodalom:
G. Grätzer:
Universal algebra; Springer, 1979.
R. Freese,
R. McKenzie: Commutator Theory for Congruence
Modular Varieties; London Math. Soc.,
1987.
R. McKenzie,
G. McNulty, W. Taylor: Algebras, lattices, varieties
S. Burris-H.
P. Sankappanavar: A course in universal algebra; Springer,
1981.
D. Hobby, R. McKenzie: The structure of finite algebras;
AMS, 1988.
11. Hálók: Disztributív
hálók topologikus reprezentációi, dualitás a
disztributív hálók és a poszetek között. Szabad
hálók. Geometriai terek és hálók, projektív terek és a komplementumos
moduláris hálók, Desargues tétel és a koordinatizálás. Algebrai hálók reprezentálása.
Irodalom:
G. Birkhoff: Lattice
Theory
G. Grätzer:
General lattice theory;
Academic Press,
1978.
Czédli Gábor: Hálóelmélet
B. Ganter-R.
Wille: Concept lattices
R. Freese-J.
Ježek-J.B. Nation: Free lattices
P. Crawley-R.P. Dilworth.
Algebraic theory of lattices; Prentice-Hall,
1973.
12. Modellelmélet,
algebrai logika: Modellosztályok és
jellemzéseik (elemi, Δ-elemi, Σ-elemi osztαlyok),
pozitív és negatív eredmények. Modell konstrukciók: szorzatok, beágyazások,
redukciók. Megőrzési és karak-terizációs tételek.
Definiálhatóság. Komplettség. Standard és nem-standard modellek. Nem-standard analízis.
Logikák algebraizációi. Az algebraizáció
megadása logikai ill. algebrai eszközökkel. Algebrai és logikai fogalmak
kapcsolata, fontos logika tulajdonságok (pl. kompaktság, teljesség, stb.)
jellemzése univerzális algebrai fogalmakkal. Reprezentáció fogalma.
Irodalom:
W.
Hodges: A Shorter Model Theory, Cambridge Univ. Press, 1997
C.C. Chang, H.J.
Keisler: Model Theory, North Holland, 3th ed.,1990
L.
Henkin, J.D. Monk, A. Tarski: Cylindric
Algebras I-II., North Holland, 1985
J.
Bell, M. Machover: A Course
in Mathematical Logic, North Holland, 1977
Ferenczi M.: Matematikai
Logika, Műszaki Kiadó, 2002
Csirmaz L.: Matematikai
Logika, ELTE, 1994
H.B. Enderton: A Mathematical Introduction to Logic, Academic Press, 2nd ed., 2001
Serény Gy.: A modellelmélet alapfogalmai, BME, 1992.
13. Bizonyításelmélet és alkalmazásai: Dedukciós és cáfolati
rendszerek. Analitikus fák, rezolúció. Algoritmusok a bizonyításelméletben.
Normálformák. A bizonyításelmélet korlátairól, Gödel
tételei. A logikai programozás általános modellje, PE definíciók, korrekt
válasz probléma. A PROLOG logikai alapjai, SLD rezolúció. Kapcsolatok az adatbázis
elmélettel.
Irodalom:
M.
Ben-Ari: Mathematical Logic in Computer Science I-II., Prentice
Hall, 1996
A.
Nerode, R.A. Shore: Logic for
Applications, Springer, 1997
E.
Burke, E. Foxley: Logic and its
Application, Prentice Hall,
1996
M.
Ferenczi, M. Szőts: Mathematical Logic and Formal Methods,
megj. alatt
Ferenczi M.: Matematikai
Logika, Műszaki Kiadó, megj. alatt
H.B. Enderton: A Mathematical Introduction to Logic, Academic
Press, 2nd ed., 2001
14.
Nem-klasszikus logikák a számítástudományban: Logikák osztályozása. Modális, multimodális, temporális, dinamikus, többértékű, nyíl, reláció, intuícionista, valószínűségi, nem-monoton logikák. Fontos
logika tulajdonságok vizsgálata nem-klasszikus logikák esetén. Alkalmazások a
tudás reprezentációnál, a programhelyesség bizonyításban és a logikai
programozásban.
Irodalom:
R.
Goldblatt: Logic of Time and Computation,
CSLI, Stanford, 1992
From Modal Logic to Deductive
Databases, Ed. Thayse, A., Wiley,
1992
R.
Turner: Logics for Arttificial Intelligence, Ellis, 1984
A.
Nerode, R.A. Shore: Logic
for Applications, Springer,
1997
M.
Ferenczi, M. Szőts: Mathematical Logic and Formal Methods,
megj. alatt
H.B. Enderton: A Mathematical Introduction to Logic, Academic
Press, 2nd ed.,2001
15. Lineáris algebra:
Vektorterek: Determinánsok. Lineáris
terek (lineáris függetlenség, bázis,
altér, faktortér, duális tér), lineáris leképezések (képtér, nulltér, rang). Gram--Schmidt-ortogonalizálás. Valós és komplex euklideszi terek.
Lineáris leképezések:
Lineáris transzformációk, mátrixok kanonikus
alakjai. Nyom, sajátértékek, minimál- és karakterisztikus polinom. A Jordan-normálforma.
Frobenius-normálforma. Poláris felbontás. Lánczos-felbontás. Egészelemű
mátrixok, Smith-normálforma.
Speciális lineáris transzformációk: Szimmetrikus
és önadjungált mátrixok. Ferdén-szimmetrikus,
ortogonális, unitér és normális mátrixok. A fötengelytétel.
Nilpotens mátrixok, projektorok,
involúciók.
Multilineáris algebra: Multilineáris leképezések, tenzorszorzat, tenzoralgebra, külső szorzat. Grasmann-algebra.
Szimmetrikus és ferdén-szimmetrikus tenzorok.
Felbontható tenzorok. Leképezések tenzorszorzata
és külső szorzata.
Mátrix-egyenlőtlenségek: Szimmetrikus és önadjungált
mátrixokra vonatkozó egyenlőtlenségek. Mátrixok sajátértékeire és normájára
vonatkozó egyenlőtlenségek. Nemnegatív elemű mátixok, Perron--Frobenius-tétel. Duplán sztochasztikus mátrixok.
Mátrixok az algebrában és az analízisben : Felcserélhető
mátrixok, kommutátorok. Kvaterniók, Cayley- és Clifford-algebrák.
A rezultáns. A Witt-tétel. Moore--Penrose-inverz,
mátrixegyenletek. Mátrixfüggvények, differenciálásuk.
Irodalom:
P.M. Cohn:
Algebra, I-III. ; Wiley,
1982, 1989, 1991.
V.V.
Prasolov: Problems and theorems in
linear algebra; Amer. Math. Soc.,
1994.
Fried Ervin: Algebra I. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.)
Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó, 1996.)
Horváth Erzsébet: Lineáris Algebra (BME Kiadó, 1995.)